Jak vypočítat obsah trojúhelníku?

Obsah trojúhelníku lze spočítat ze strany a výšky (S = a × vₐ / 2) nebo pomocí Heronova vzorce S = √(s × (s − a) × (s − b) × (s − c)).

Jak vypočítat úhly trojúhelníku?

Úhly lze určit pomocí sinové nebo kosinové věty – například α = arccos((b² + c² − a²) / (2bc)).

Výšku vₐ spočítáme z obsahu: vₐ = 2S / a. Lze ji určit i pomocí trigonometrie – vₐ = b × sin(γ).

Opsaná kružnice prochází všemi vrcholy trojúhelníku (poloměr R = abc / (4S)), vepsaná se dotýká všech stran (r = S / s).

Součet délek libovolných dvou stran musí být větší než délka třetí: a + b > c, a + c > b, b + c > a.

TROJÚHLENÍK OBECNÝ

TROJÚHLENÍK OBECNÝ:

Zadejte jakékoliv tři veličiny a zvolte všechny jednotky

VÝSLEDKY

Délka strany trojúhelníku a =
Délka strany trojúhelníku b =
Délka strany trojúhelníku c =
Úhel α =		°
Úhel β =		°
Úhel γ =		°
Výška trojúhelníku na stranu c h_c =
Pol. kružnice trojúhel. vepsaná r =
Pol. kružnice trojúhel. opsaná R =
Obsah trojúhelníku S =
Obvod trojúhelníku O =

pozn.: výsledné hodnoty jsou zaokrouhlovány na tři desetinná místa

Definice obecného trojúhelníku

Obecný trojúhelník je rovinný geometrický útvar, který má tři strany, tři vrcholy a tři vnitřní úhly.

Základními prvky jsou strany a, b a c a úhly α, β, γ, které jsou jim protilehlé.

Obvod trojúhelníku

Obvod (O) trojúhelníku se vypočítá jako součet délek všech jeho stran:

O = a + b + c

Tento vztah platí pro každý trojúhelník bez ohledu na jeho typ.

Obsah trojúhelníku

Obsah (S) trojúhelníku lze určit několika způsoby podle známých údajů:

S = (a · v_a) / 2 — pomocí strany a příslušné výšky,
S = √[s(s − a)(s − b)(s − c)] — podle Heronova vzorce, kde s = (a + b + c) / 2,
S = (1/2) · a · b · sin(γ) — pomocí dvou stran a úhlu mezi nimi.

Heronův vzorec je univerzální a lze jej použít, pokud známe délky všech tří stran.

Výška trojúhelníku

Výška trojúhelníku (v_a) je kolmá vzdálenost vrcholu od protilehlé strany. Lze ji vyjádřit vztahem:

v_a = (2S) / a

Každý trojúhelník má tři výšky, které se protínají v jednom bodě nazývaném ortocentrum.

Poloměr kružnice vepsané trojúhelníku

Poloměr kružnice vepsané (r_v) udává vzdálenost středu vepsané kružnice od stran trojúhelníku. Vypočítá se podle vzorce:

r_v = S / s

Kružnice se dotýká všech tří stran trojúhelníku a její střed se nazývá incentrum.

Poloměr kružnice opsané trojúhelníku

Poloměr kružnice opsané (r_o) je vzdálenost středu kružnice od vrcholů trojúhelníku. Vypočítá se podle vztahu:

r_o = (a · b · c) / (4S)

Kružnice opsaná prochází všemi třemi vrcholy a její střed se nazývá circumcentrum.

Zajímavosti o trojúhelníku

Trojúhelník je nejjednodušší mnohoúhelník – nelze jej rozdělit na menší polygony bez ztráty tvaru.
Součet délek libovolných dvou stran je vždy větší než délka třetí strany (trojúhelníková nerovnost).
Trojúhelníky se často používají v stavebnictví a statice, protože poskytují velmi stabilní konstrukce.
Všechny základní trigonometrické vztahy (sin, cos, tan) jsou založeny právě na vlastnostech trojúhelníku.
Existuje mnoho speciálních typů trojúhelníků – např. rovnostranný, rovnoramenný, pravoúhlý či rovnoramenný pravoúhlý.